浮点数
浮点数的名称中就蕴含了“小数点移动”的意义。上一篇我们提到，浮点数的表示方式类似科学计数法，即写成一个实数 $a$ 乘以一个基数 $r$ 的 $E$ 次方，即 $a \times r^E$。基数 $r$ 越大，$r^E$ 就越大，表示的范围就越大，而精度则会下降。在计算机中，常用的基数 $r$ 为 2。因此下文都以基数为 2 展开。我们将次数 $E$ 称为阶码，实数 $a$ 称为尾数。那么，二进制浮点数的真值表示可以形如 $([-0.1101010000]_2) \times 2^{[-11]_2} = -\frac{53}{512}$。
另外，我们知道十进制数转换成二进制小数时可能会产生无限循环小数，只能保留精度要求的位数，造成精度缺失，那么浮点数即使在它能表示的大小范围内，也 无法表示所有的小数。可以理解为浮点数的值域是实数轴上挖去了很多的小范围。
二进制小数的每一位都表示 2 的某个次方数，如 $2^{-1} = 0.5$，$2^{-2} = 0.25$。那么用两位二进制小数能表示的只有 $0,0.5,0.25,0.75$，中间的数都是缺失的，只能用更多的位数去逼近要表示的值，理论上取极限时可以得到任何数，但我们并没有无穷多的位数。
浮点数的机器码
我们知道，阶码和尾数都可以是负数，因此它们都需要符号位。一种容易想到的表示方式是：取出一部份二进制位作为阶码，另一部份作为尾数。例如：$[-0.1101010000]_2) \times 2^{[-11]_2} \rightarrow 1,0011;1.1101010000$。此处，阶码和尾数都使用原码表示，问题是：阶码和尾数分别使用什么编码比较合适？考虑浮点数的运算。对于加减来说，如果两个数的阶码相同，那么尾数直接加减；对于乘除来说，阶码相加减，尾数做乘除法。此外，浮点数之间还需要比较大小。因此，阶码使用移码 比较合适，且移码不需要关心符号位。而对于尾数，原码的值更直观，做乘除法更简便，且更易于规格化，所以 尾数使用原码。
浮点数的规格化
按照上述的表示方式，一个浮点数可以有无数种表示方式。这就好比 $3.14 \times 10^2 = 0.314 \times 10^3 = 31.4 \times 10^1$，只需要挪动小数点位置就有一种新的表示。为了统一浮点数的表示，增加数据的表示精度，我们需要对浮点数进行规格化。具体来说，就是通过改变阶码（小数点位置）来让尾数数值部份的最高位为有效位。这种表示方式与十进制数的科学计数法也十分类似，我们会通过调整次数 $E$ 将实数 $a$ 写成 $1\leq |a| \lt 10$ 的一个值，那么最高位个位就是一个有效值。通过规格化，我们可以让尾数部份尽可能表示更多的小数位数，也就是提高精度。
我们将规格化时，小数点向左移动（即阶码减少）称为 左规，向右移动（即阶码增加）称为 右规。
IEEE 754
计算机是一门工程学科，这意味着很多设计都需要基于实际应用，而 IEEE 754 标准就是理论与实践结合的一个典型示例。
IEEE 754（读作 I trible E 754）标准主要规定了计算机中浮点数的表示方式，几乎所有现代计算机都采用此标准。它与我们上述提到的浮点数表示方式略有不同：
- 将尾数的符号位移到整个浮点数的最高位，而不是在尾数的最高位。显然这样浮点数的符号更直观。
- 规定 32 位浮点数（即
float）的阶码占 8 位，64 位浮点数（即double）的阶码占 11 位。那么，32 位浮点数的尾数占 $32-1-8=23$ 位，64 位浮点数的尾数占 $64-1-11=52$ 位。 - 阶码的偏移常数采用 $2^n-1$ 而不是常见的 $2^n$，在 32 位浮点数中阶码长度为 8，因此 32 位浮点数阶码的偏移常数是 $2^8-1=127$。这是因为阶码的全 1 和全 0 被保留作为特殊用途。那么，最小的非保留阶码就是 $[00000001]_2=-126$，最大的阶码就是 $[11111110]_2=127$。被保留的两个阶码在数值上是 $[00000000]_2=-127$ 和 $[11111111]_2=-128$。
- 尾数的左侧有一个隐藏位 1 用于表示数值。这意味着，我们表示的 IEEE 754 浮点数都是 $1.[尾数] \times 2^{[阶码]}$ 形式。这样同时做了规格化，又扩大了浮点数的表示范围。
那么，阶码全 1 和全 0 是什么用途呢？
当阶码全 0 时：
- 尾数为 0：表示 +0 和 -0。
- 尾数不为 0：表示 非规格化数。阶码全为 0 时，说明阶码已经小到了不能够再进行左规的程度，那么尾数的规格化还没有完成，就是非规格化数。这可以用来表示比规格化数更小的数，也就是处理 阶码下溢。
当阶码全 1 时：
- 尾数为 0：表示 $+\infin$ 和 $-\infin$。
- 尾数不为 0：表示无定义数（非数）NaN（not a number）。非数可以表示 $\frac{0}{0}$，$\frac{\infin}{\infin}$，$0 \times \infin$，$\sqrt{-1}$ 等。这些数可以让计算过程出现异常时程序还能继续执行，并且提供错误检测功能。
从数值上来看，阶码全 0 是第二小的数，那么它还可以表示一些小到无法规格化的数；而阶码全 1 只能用来表示一些“无法表示的数”，如正负无穷和非数。以上是个人理解赋予它们的意义，也可以认为规定就是规定，并没有它的意义。
可以发现，IEEE 754 的设计与纯数理知识不同，融入了工程上的考量。